Morgan Stanley日本公司今年招实习的笔试数学题

林贺由美

这个xn他认为是n楼到达1楼的概率，这就是问题所在，他后面排的式子，说明这里的xn他还是考虑成站在n楼抛的概率而以我知道你说的意思,不过因为实际上抛的次数是无限次,所以两者的概念是可以视为等同的...

这位同学

站在任何一层楼，上楼下楼的概率分别是1/2，则，到达3楼的概率分别是2楼抛正和4楼抛反的概率之和（这句话他说的没错，关键是这个概率不是他下面设的概率），然后，设1-4楼到达一楼的概率分别是x1-x4（这个xn他认为是n楼到达1楼的概率，这就是问题所在，他后面排的式子，说明这里的xn他还是考虑成站在n楼开始整个抛币试验的概率而以），所以
x1=1
x2=1/2*x1+1/2*x3 （2）
x3=1/2*x2+1/2*x4   （3）
x4=0（大括号就省略咯）
解得，x2=2/3

以下是这个多元一次方程的漏洞，

argu 1：按照此解法思路（暂且不论其对错）
当此人到达1楼后，并不会再投币，所以x2中，并不包含此人在1楼投币得出正面这一结果的条件概率，即，1/2*x1其实没有考虑的必要，此为（2）的漏洞，（3）的漏洞同理
argu 2：从变量该解法所设xn本质看
若，xn是此人站在n楼开始做抛币试验（整个试验，不是某一次抛币），由于每一次试验互相独立，所以对n取1-4，xn互不相关（意思是不同次试验的概率互不影响）
若，xn是此人在某一个抛币试验中到达n楼的概率，则x2为此人在这次抛币试验中从2楼出发到达2楼的概率，不是所求
若，xn是此人从n楼开始抛币最终到达1楼的概率，则，不成立理由同第一条
argu 3：穷举求解
在一个4层楼模型中，设下楼为a，上楼为b，到达1楼或4楼为止，则，走x步终止试验的所有可能情形如下
1：     a（1楼）
2：     bb(4楼)
3:   baa
4:   babb
....
之后所有的可能，只是在1，2前加上一定数量的ba而以，可见对于一定数量n的ba，最终到1楼和4楼的情况下都是成对出现的，而到达一楼和四楼的概率和是1，所以分别为1/2

[此贴子已经被作者于2007-7-19 0:25:54编辑过]

这位同学

这个是完整版，我给一个朋友看他argu的

林贺由美

1,2我都解释了...再加上你朋友的1,2只是反驳,并不能得出答案吧...至于穷举法...我晕...我只能说,你自己真的举一举吧...算过就会知道,在抛精确的N次时到达1楼和7楼的概率,1楼一开始是比7楼大的,这个比例越来越接近1:1,但是怎么想也不可能反过来变成7楼比1楼大啊...所以把他们加起来的结果,不会是1:1的...你那穷举法中的1,2两种情况怎么会变成成对出现了?抛出1个a和连抛2个b的概率是不一样的好不好....[em06]

这位同学

这些反驳都是为了说明那做法的漏洞，其目的不是为了得出答案，包括3，同样，由3得出1/2本来也就不能证明7层模型的答案也是1/2，至少当前你还不能否认我说的那些漏洞（你的解释，抛的次数无穷次〉两者可视为等同。。。你真的能够说服自己么），就如我也不能否认2/3这个答案
ps，对于什到达1和到达7的概率为啥相加一定是1，又或者抛出一个a和2个b到底是什么样的意思，这个试验的样本空间到底是什么，到底什么是概率，等等，我也不想多说了。。。
其实很不想说这句话，楼上其实没怎么学过高数或者概率论或者统计吧（这里不表示做出那道题一定要学这些东西，只是就事论事）？不过，想出那个方程做法的仁兄我仍要佩服一把，在这么短的时间得出如此分析，脑筋很不错，虽然分析得不对

林贺由美

当然没学过,就我的判断,ms不可能在30分钟做2道并且主要收文科生的情况下出很复杂的题...还是需要技巧的...关于xn的概念,你自己也说了,1楼和7楼的概率加起来等于1,因为是无限次嘛...所以,从一开始站在N楼抛,最终达到1楼的概率,和抛了若干次之后达到n楼,这时从n楼最终到达1楼的概率,可以视作同样的....而他所设的xn的概念就是这个意思....其实他也不过是表达不太清晰,很容易被人误解罢了....你的反驳1我也解释过了,是他的表达不够准确,但是数值,算法本身都是一样的...至于反驳3,我是不懂你的一个a和2个b到底为啥会是成对出现的,如果你不介意可以解释解释吗?[em01]

林贺由美

话说你的4楼模型是从2楼开始走?从2楼开始走,第一次抛就有1/2概率到1楼了,此外还有先走到3楼再往1楼走的可能性,加起来再怎么看都大于1/2....

林贺由美

哦...看懂了反驳3了....的确,4层模型中,走奇数步结束只能是到1楼,走偶数步结束只能是到4楼...但是...走奇数步结束的概率和走偶数步结束的概率,是1:1吗?[em01]走1步结束的概率是1/2吧...2步是1/4吧...3步1/8....4步1/16....每一对中奇数步和偶数步结束的概率比总是2:1...故奇数步结束概率为2/3...故去1楼概率为2/3....恭喜你,又想出一种新的解法[em01]

[此贴子已经被作者于2007-7-19 1:22:42编辑过]

这位同学

哎，妹妹阿，1/2是抛币的概率，不是走一步结束试验的概率，走一步结束试验是所有结束试验的抛币组合中的一种，而所有抛币组合是无穷大，所以走一步结束试验的概率是0
换而言之，是一种可能的结束方式在所有可能的结束方式当中的概率
还有哦，这句，“在抛精确的N次时到达1楼和7楼的概率,1楼一开始是比7楼大的,这个比例越来越接近1:1”
抛精确的n次的时候，那个不叫概率，叫频率，概率是当试验次数趋近无穷大时的频率，有兴趣请参见概率的定义谢谢~~，意思就是1楼和4楼概率是1：1，所以分别是1/2

yoosoo

这位同学，这个问题似乎得用全概率这个概念来解释。
设P(Xn)为n楼最终去1楼的概率。P(X1)为1，因为在1楼了那就是是必然事件了，P(X7)=0，因为在7楼不可能去1楼了。
设事件A为最终去一楼
在当中的楼层，只有两种可能，或上或下，而且概率均为1/2，P(上)=P(下)=1/2
P(A|下)，下一层楼后，最终去1楼的概率。
这里还有一个概念必须认清，因为是无限的，比如开始在3楼，
去了2楼或其他楼层后（随便怎么来回），又回到3楼后，
从回到3楼后开始，看清楚，从这个时候开始，前面的不算，这之后开始最终去1楼的概率，
与一开始在3楼最终去1楼的概率，是一样的。
套用全概率公式：P(A)=P(下)P(A|下)+P(上)P(A|上)
而显然P(A)=P(Xn),
P(A|下)=P(Xn-1)，P(A|上)=P(Xn+1)，
所以，就出现了上面的多元一次方程组。
因此，3楼出发的答案为2/3

[此贴子已经被作者于2007-7-19 1:57:06编辑过]