[原创]单焦点镜头倍率的计算，付简单的计算用Excel表。

Aqua-unicorn

这篇文章是偶去年写的，首发于4/3论坛。并不涉及什么高深的光学计算，只用到初中物理的一些简单东西。
我只是出于好奇，简单计算了下，发现与官方提供的结果非常近似。
感兴趣的朋友可以一起来探讨一下。

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对于那些比较新的镜头，在厂家主页上一般都可以找到详细的倍率表。但是对于那些参数不详的老镜头的倍率应该怎样计算呢？另外，镜头接上延长筒，或者增倍镜之后，镜头倍率、最近拍摄距离会有怎样的变化呢？

怀着这些疑问，我自己动笔推导了一下，因为运用的无非是中学的最基础的知识，道理非常简单，斗胆献曝让大家见笑了。希望对大家在挑选微距头或者延长筒、增倍镜的时候有一点点帮助。当然，万一哪里写错了也欢迎大家指出。

为了方便后面的表达，先定义一下用语。

1、镜头倍率：与理想凸透镜的倍率概念相同，镜头倍率指成像高度与物体实际高度的比值。多数情况下写作“1:N”的形式。习惯上，冒号前面的数值（1）指物体实际大小的比例，冒号后面数值（N）指成像大小相对于实际大小的比例（像高除以实高），即镜头倍率。比如，物体实际高度10mm，在最短的拍摄距离上取得最大的成像高度为5mm的情况下，我们一般称此镜头为1:0.5的镜头，或者说0.5倍镜头。

这里要注意的一点是，镜头在不同的使用距离上倍率是变化的，而镜头的标称倍率一般是其最大的放大倍率。比如所谓的“等倍镜头”是指其在最短拍摄距离上的放大倍数约为1:1的镜头。但并不是任何拍摄距离上都是1:1的，这点切勿混淆。

另外，镜头的倍率是不受相机画幅影响的。所谓画幅，实际上就是感光元件从成像上截取的面积大小。但是因为感光素子的排列密度不同，最后的照片大小又会有变化。这些都与我们今天要谈的镜头倍率没有直接关系。

2、理想等效凸透镜：用于简化实际镜头结构，忽略各种成像误差、色差的理想凸透镜。因为实际的相机镜头基本上都是多镜片的复杂结构，这里以下面的等效单片理想凸透镜作为此次推导的数学模型。

3、物距：被写物体～等效理想透镜中心位置之间的距离。

4、像距：等效理想透镜中心位置～成像点（精确对焦后感光元件所在的位置）之间的距离。

5、拍摄距离：被写物体～成像点之间的距离，也既物距与像距的和。特别想说的一点是，厂家给的“最近拍摄距离”就是指其最小值。

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数学模型见下图。

图一

定义以下变量的意义：

f:焦距

d:物距

i:像距

x=d+i：拍摄距离

l：目标物体的实际高度（大小）

h：成像的高度（大小）

A、B、C、D、E、F、O代表图上各点的名称。

注意：这里，d跟i都是等效值，无法直接测量。只有他们的和（x）是可以测量的。

结论先写在下面，懒得看公式推导的朋友看完结论也就没必要继续看后面了。

镜头倍率：N=h/l= (x±√(x2-4fx))/2f-1

镜头最大倍率：N0=h/l= (x0±√(x02-4fx0))/2f-1

注意，同样的拍摄距离下，存在两个倍率的解（对应上式的±号）。其原因是由于光路的可逆性，物距相距是可以对调成立的。但是镜片的位置往往受到镜筒的限制只能存在于其中一个位置上，所以对于上述两个解需根据实际情况进行取舍。

具体的取舍方法是：当物距大于相距的时候取“-”，当物距小于像距的时候取“+”。（也可以理解为倍率小于1时取-，大于1时取+，等于1时正负均可。）

但是无论怎样取舍，物距与像距的和（x），一定大于或等于4倍的焦距（f）。这可以作为一条定理存在（记得初中物理里面有过推导此定理的习题）。x=4f的情况下，物距与像距相等，镜片正好位于物与像的正中间，放大倍率为1:1。

如果嫌笔算麻烦的话，也可以借助EXCEL或者用C啦B啦编个小计算程序来快速得到答案。

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推导过程：

因为ΔABO与ΔCDO相似推出：

l/h=d/i

因为ΔFEO与ΔCDE相似推出：

l/h=f/(i-f)

⇒d/i=f/(i-f)

⇒di=(d+i)f=xf
(因为x=d+i)

⇒x=di/f

又因为x=d+i

联立方程式解方程组（化成x跟f的表达式）：

d+i=x

di=fx

⇒

d=(x+√(x2-4fx))/2

i=(x-√(x2-4fx))/2

或

d=(x-√(x2-4fx))/2

i=(x+√(x2-4fx))/2

得到最终的放大倍率：

N=h/l=(i-f)/f=(x-√(x2-4fx))/2f-1

或者

N=h/l=(x+√(x2-4fx))/2f-1

又因为镜头倍率N>0

所以：

N=(x-√(x2-4fx))/2f-1

(when id)

解毕。

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为了验证公式的正确性，将上面推导的计算公式与O官网上的镜头数据进行比较，结果如下表：

	x0[mm]	f[mm]	±	i0[mm]	N0
ZD50/f2	220.00	50.00	-1.00	76.83	0.54
ZD35/f3.5	140.00	35.00	±1.00	70.00	1.00
SIGMA150/f2.8	600.00	150.00	±1.00	300.00	1.00
OM90/f2	400.00	90.00	-1.00	136.75	0.52
Vivitar 90/f2.5+EX	390.00	90.00	-1.00	140.92	0.57
OM80/f4+EX25	1800.00	80.00	-1.00	83.91	0.05

注：

1、脚注0的参数代表原始值（未加接延长筒、增倍镜的值）。

2、这里Vivitar90/2.5只有在加上专用延长筒的时候才能达到1：1，所以表内写作“+EX”。

3、OM80/4在不接EX25的情况下无法安装在机身上，此外又因为没有正式公布的数据，所以这里的值是在外接EX25的情况下的经验数据。

4、±这一栏代表最后解的取舍。

通过比较计算值跟实际值，说明推导的公式还是具有一定正确性和参考价值的。

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如果进一步推广，可以计算各种镜头接上长度为u(一般是25mm)延长接环的性能数值（这里相当于像距增加u=25mm，进而可以进行推导）。结果如下：

新的倍率： N1=h1/l1=(x1±√(x12-4fx1))/2f-1

新的最近拍摄距离：x1=(i0+u)2/(i0+u-f)

而本来的最大倍率时的像距：i0=(x0±√(x02-4fx0))/2

（这里，凡是脚注1的参数代表增加延长筒之后的新值；脚注0的参数代表原来的值。）

依次向上代入得出N1对于x0、x1对于x0的表达式即可计算。因为过于繁琐，在程序计算的时候也没有必要，所以最终的公式不再列出。上述镜头的计算结果见下表。

		u[mm]	x1[mm]	i1[mm]	N1
ZD50/f2		25	200	102	1.04
ZD35/f3.5		25	150	95	1.71
SIGMA 150/f2.8		25	604	325	1.17
OM90/f2		25	365	162	0.80
Vivitar 90/f2.5+EX		25	363	166	0.84
OM80/f4+EX25		195	391	279	2.49

这里前5种镜头的延长筒采用的是EX-25或者OM EX-25的数值，OM80/4则采用了Auto-Bellows的数值（220mm）。又因为表1的数值为已经加了EX25得到的，所以这里计算时的u=220-25=195mm。

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如果镜头接上放大倍率为w倍的增倍镜（目前O家只有1.4倍跟2.0倍的增倍镜），应用上面的公式（相当于焦距增加w倍，另外加上长度v的延长筒）推出的结果及上述镜头的计算结果如下：

新的倍率： N2=h2/l2=(x2±√(x22-4fx2))/2f2-1

新的最近拍摄距离：x2=(i0+v)2/(i0+v-wf0)

而本来的像距：i0=(x0±√(x02-4f0x0))/2
依次向上代入得出N2对于x0、x2对于x0的表达式即可计算。

【注】经过反复演算，偶认识到增倍镜的影响不能通过等效凸透镜的方法来简单计算。所以此处给出的仅仅是不精确的近似公式。

	w[倍]	v[mm]	i2[mm]	x2[mm]	N2
ZD50/f2	1.4	30.00	106.83	309.86	1.14
ZD35/f3.5	1.4	30.00	100.00	196.08	1.86
SIGMA 150/f2.8	1.4	30.00	330.00	907.50	1.20
OM90/f2	2.0	110.00	246.75	912.12	1.74
Vivitar 90/f2.5+EX	2.0	110.00	250.92	887.79	1.79
OM80/f4+EX25	2.0	110.00	193.91	1108.81	1.42

注：
1、
这里，凡是脚注2的参数代表增加增倍镜之后的新值；脚注0的参数代表原值。
2、
这里OM口的增倍镜采用了KenkoMC7MacroTeleconverter微距专用增倍镜。除了焦距乘二以外，其自身还具有50-110mm的延长筒效果（这里取v=110mm）。
3、
因为无从查询，v的数值为推测值，仅供参考。
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最后特别想补充说明一点：
包括ZD14-54在内的一些最近拍摄距离异常短的变焦头不适用于此次推导的公式。按理说在54mm端，1454应该具有与502接近的性质，但是事实上1454的倍率仅仅能够达到1:0.25。1454在近距离上焦距缩水的说法再次得到印证。
我对于具体的镜头结构一窍不通，但是感觉上单焦点的镜头参数倒是非常符合上面推导的公式的。变焦头不符合公式的原因，应该是出在等效理想凸透镜这个环节上。

[ 本帖最后由 Aqua-unicorn 于 2008-5-31 23:07 编辑 ]

A.Z.

学术贴啊，收藏，顶一下。

对于O记的镜头，如果倍率为1/2，输出图片的效果是不是就相当于全幅的1/1？

Aqua-unicorn

原帖由 A.Z. 于 2008-6-7 10:38 发表
学术贴啊，收藏，顶一下。

对于O记的镜头，如果倍率为1/2，输出图片的效果是不是就相当于全幅的1/1？

可以这么理解。