击败庄家：21点的有利策略  附录 一副牌游戏的基本概率

对于本附录的理解不影响对于本书其他部分的阅读。我们加入这部

分是为了照顾对于数学很感兴趣的读者。

本附录中的表是基于一副完整牌游戏的计算结果得到的。这样的结

果，包括表4-1中描述的每组每副牌的结果，用于构建本书中的21点理

论。由于数据量十分巨大（最终结果足以填满几本书），我们只能限制

展示一副完整牌的结果，并且还只是抽取的其中一部分结果。因为在我

们的讨论和应用过程中，我们只需要不超过三位小数的结果，这里给出

的表只保留三位小数。

对所有的数字可以这样解读：虽然小数点被省略了，但我们假设左

边有一个小数点。例如，-039解读为-0.039。

我们再次强调，附录中的数字是基于一副完整牌和第3章中的规则

计算的，这些规则包括庄家在软17点停止要牌的规则。因为随着各种条

件的变化，这些数字会显著变化，所以任何基于本附录的推理，都只适

用于提及的那一种情况。但是，这些推理给出了多副牌或者不同规则情

况下的大致结果。

为了确定玩家策略，我们数字中的错误可能会导致错误，但是仅仅

在决策很接近的时候。在那种情况下，由错误的策略导致的误差也非常

小，加上相近决策发生的概率极低，这种情况引起的玩家优势的误差会

非常小。这对于实际计牌是一个优点。大致来讲，一些相近的决策，例

如在面对庄家10点时，硬16点是否要牌，取决于组成16点的牌型。举例

来说，持有（10，4，2）时，玩家应该停止要牌；而持有（10，6）

时，玩家应该要牌。如果16点由若干小牌组成，则决策是比较清楚的。

例如，如果持有（4，4，4，4），朱利安·布劳恩表示玩家在面对10点

时要牌的劣势是精确的（！）6.382%，相比较而言，面对10点时持有2

张牌的硬16点的优势则是2.9%（如果（8，8）时分牌，优势是3.2%）。

大家会试图通过计算硬16点时每种组合的情况得到优势和劣势，从

而改进基本策略。这样，玩家需要查看一张组合表，看是否要牌。这种

太细节的改进是不切实际的，因为表太过巨大（会有几百行），从而使

得玩家不会去记忆和使用它，而且净收益非常小。

但是，在游戏过程中与10点策略的连接的确考虑了玩家抽到的牌的

组合。这没有上述策略这么精细，因为这里只把牌分成策略的两大类，

即10点和非10点。但是，这些区分获得了很多（甚至是大部分）利润。

表1给出了庄家在每张可能明牌下最后成牌时的点数的概率表。表

中的每一行数字相加并不一定是1，这是因为有很小的四舍五入和近似

误差。误差不超过10-4，因此从实用的角度，我们就忽略这个误差。每

列之和与总概率有一定的差异，因为原始的表有5位小数，在对列求和

的过程中取了近似值。

如果我们假设对手全部爆掉的话，庄家还是会抽牌，那么这个表显

然也是成立的。在一个正常的游戏中，庄家一般不会这么做。

从现在开始，所有表的计算都基于这样的假设：庄家没有天成。

为了说明如何应用表2a，假设你持有硬12点，庄家明牌是2。如果

你决定要牌而不是停止，你的收益是0.038。这意味着平均来讲，在大

量的这种情况下，如果你持有硬12点面对明牌2点，总是要牌而不是停

止，你会得到大约3.8%的初始赌注额的额外收益。如果表中的格子是正

数，玩家应该要牌而不是停止。相反地，如果一个格子是负数，玩家应

该停止而不是要牌。审视这张表立刻可以得知硬点停止点数。事实上，

正是从这张表得到了硬点停止点数。

这里有两种极端的相近决策，表2a和表2b中各有一种。在表2a中，

玩家持有两张牌组成的硬16点面对10，停止要牌会输，在这种情况下，

平均劣势大约是2.9%。（持有（10，6）时，劣势是3.8%；持有（9，

7）时，劣势是0.8%；持有（8，8）时，劣势是0.9%。用概率表中的

16∶4∶3将三种情况组合起来，得到2.9%的劣势。如果在（8，8）时分

牌，从而不包括进去，那么这个数字是3.2%。）

在表2b中，玩家在软18点面对A时，要牌而不停止，损失大约为

0.1%。一些我认识的玩家试图用经验求解21点，即他们玩几百几千手

牌，然后记录结果，从而决定对于不同的明牌，哪个是正确的停止要牌

点数。正如预期，在非常接近的决策上，这些玩家站成两派，各执一

词。

表3是从表1中直接计算而来的，如下所示。假设玩家持有总点数

19，面对庄家明牌6，玩家的优势是庄家最后拿到更差总点数（18，17

或者爆掉）的概率和，0.1065+0.1670+0.4208=0.6943，减去庄家拿到更

好点数（20或者21）的概率和，0.1007+0.0979=0.1986。差值为0.6943-

0.1986=0.4957，保留3位小数以后就是0.496，写在表3的对应格子内。

表3 玩家在不同点数停止的收益

正如我们前面提到的，在表3中，我们假设庄家没有天成。在这种

情况下，玩家拿到天成总是可以赢初始赌注的1.5倍，即他的优势用我

们的术语表示就是150%。因此，在这里就没有必要列出这种情况。

表4给出了在假设玩家采用正确的停止要牌点数时（从表2a和2b中

推导），玩家所有的暗对子面对庄家明牌时的优势。然后，如果玩家加

倍的话，他的优势也被列出了。最后，当一对暗牌数值相同时，表4也

给出了此时玩家的优势，这时玩家分牌，然后从加倍、要牌和停止要牌

中选择最有利的决策。这张表被分成10个主要的部分，每个对应一种庄

家明牌的情况。

对于庄家明牌的基本策略可以从表中推导出来，如下所述。首先，

假设暗牌形成一个对子，比较玩家分牌、加倍以及要牌的优势。如果分

牌带来的优势大，就分牌。否则，他应该看优势选择加倍或者要牌/停

止要牌。举例来讲，玩家持有（4，4）面对庄家10，分牌给出的优势

是-0.552；加倍带来的优势是-0.739；要牌或者停止要牌，用硬16点和软

19点停止要牌，给出的优势是-0.241。因为最后一个数字是三者最佳，

所以要牌和停止是最佳选择。因此，在这种情况下，玩家不应该加倍或

者分牌。

如果玩家的暗牌是（A，2），与（2，A）相同，所以，两者中只

需要一个出现在表中。这样，表4是以对角三角形的形式出现的。

表4进一步用点画出一条分水岭来表示基本策略。在讨论基本策略

分牌决策的时候，我们说过，如果一对A不分牌，那么这手牌“只能加

倍、要牌或者停止要牌”，但分牌给了我们一个绝佳的机会赢牌。表4给

出了大部分最佳收益情形的二元选择：加倍或者要牌/停止要牌的精确

优势数值。我们看到，数字在0附近浮动，一些是正的，一些是负的。

但是，表中显示，对A分牌，对应的优势一般是显著的正数。类似地，

面对7到A时，简单地将一对8分牌，就是把一手烂牌切分成两手平均

牌，（大致）是被经验证实的好选择。

对于一副完整牌，表4用于计算玩家对于庄家各种明牌的优势，由

此可以得到玩家的总体优势。对于多副牌，类似的结果也可以从合适的

数据里面计算出来。这部分结果在表4-1和表9-2中列出。这也给出了一

些线索和启发，告诉我们在牌的组成或者规则有变化时，表中的数字会

如何变化。

表4a 庄家的明牌是10①

注：MH=16，MS=19。

①MH=最小硬点停止点数。

MS=最小软点停止点数。

②MH=17。

③MS=18。

④MH=14。

表4b 庄家的明牌是9

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  击败庄家：21点的有利策略 第12章科学与运气拾遗英格兰的21点本书中描述的制胜策略对于英格兰的21点游戏是完全适用的。下面详细的讨论告诉我们